a: góc SMO+góc SNO=180 độ

=>SMON nội tiếp

Tâm là trung điểm của OS

R=OS/2

b: ΔOMS vuông tại M có sin MSO=MO/OS=1/2

nên góc MSO=30 độ

=>góc MOK=60 độ

=>ΔOMK đều

=>MK=OM=R=OK

Xét ΔOKN có OK=ON và góc KON=60 độ

nên ΔOKN đều

=>KN=ON=R

=>OM=MK=KN=ON

=>OMKN là hình thoi

=>KM=KN

a, Vì \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đg tròn) nên BN,CM là đường cao tam giác ABC

Do đó H là trực tâm tam giác ABC

Vậy AH là đường cao thứ 3 hay AH⊥BC tại D

b, \(OC=ON\Rightarrow\widehat{ONC}=\widehat{OCN}\)

Mà NE là trung tuyến ứng cạnh huyền tg AHN nên \(NE=EH\)

\(\Rightarrow\widehat{ANE}=\widehat{EAN}\)

\(\Rightarrow\widehat{ANE}+\widehat{ONC}=\widehat{OCN}+\widehat{EAN}=90^0\left(\Delta ADC\perp D\right)\\ \Rightarrow\widehat{ENO}=180^0-\left(\widehat{ANE}+\widehat{ONC}\right)=90^0\\ \Rightarrow EN\perp ON\left(đpcm\right)\)

a) Để chứng minh dây BN // OM, ta sử dụng định lý góc tiếp tuyến: Góc NAB = Góc NMB (do AB là tiếp tuyến). Vì OM là đường phân giác góc NMB, nên góc NMO = góc NMB/2. Tương tự, góc BON = góc BAN = góc NMB/2. Do đó, góc NMO = góc BON, suy ra dây BN // OM. b) Đường thẳng vuông góc với AB tại O là đường phân giác góc AOB. Vì MK là đường phân giác góc AMB, nên góc AMK = góc BMO = góc AOB/2. Vì đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt đường thẳng BN tại K, nên góc BKO = góc AOB/2. Do đó, góc AMK = góc BKO, suy ra MK ⊥ xy. c) Đường thẳng ON và MK cắt nhau tại S. Vì ON là đường phân giác góc AOB, nên góc ONS = góc OAS = góc AOB/2. Vì MK là đường phân giác góc AMB, nên góc MSK = góc MAK = góc AOB/2. Do đó, góc ONS = góc MSK, suy ra ∆OSM cân tại S.... 

Tam giác MBH nội tiếp đường tròn tâm I đường kính BH 

=> Tam giác MHB vuông tại M => MH vg AB => AMH = 90 độ 

Tam giác HNC nội tiếp đường tròn tâm O đk HC => Tam giác NHC vuông tại N 

=> ANH = 90 độ 

TG NAMH có ANH = HMA = MAN = 90 độ 

=> NAMH là HCN . Gọi MN giao AH tại O => OM = OH ; ON = OH ( tính chất HCN)

Tam giác BMH vuông tại M có MI là trung tuyến => MI = IH = 1/2 BH => Tam giác IMH cân tại I 

=> IMH = IHM (1)

Tam giác OMH có OM = OH => tam giác OMH cân tại O => OMH = OHM (2)

Từ (1) và (2) => IMH + OMH = IHM + OHM => OMI = IHO = 90 độ 

=> MN vg IM  

=> MN là tiếp tuyến đường tròn tâm I (*)

CM tương tự MN vg NK => MN là tiếp tuyến đường tròn tâm K (**)

Từ (*) và(**) => MN là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm I và K  

 

 

  

a) Trong tam giác OIK có:

|OK $-$ OI| < IK < |OK + OI| hay $\left|R-r\right|<IK<\left|R+r\right|$.

Vậy hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau.
b) Dễ thấy tứ giác OMCN là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông). 
Mà OM = OI + IM = OI + OK;

      ON = OK + KN = OK + OI.
Vậy OM = ON hay hình chữ nhật OMCN là hình vuông.
c) Gọi giao điểm của BK và MC là L và giao điểm của AB với MC là P.
Tứ giác IBKO là hình chữ nhật. Suy ra IB = OK.
Tứ giác MLBI là hình vuông nên ML = BI, BL = OK.
Từ đó suy ra $\Delta BLP=\Delta KOI$.  Vì vậy LP = OI.
Suy ra MP = ON = MC. Hay điểm C trùng với P.
Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng.
d) Nếu OI + OK = a (không đổi) thì OM = MC = a không đổi. Suy ra điểm C cố định.
Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm C cố định.